Considere r(t)=(\sin t, t), s(t)=(1+t, \sqrt{t}), h(t)=e^{t} e determine:
\langle r(t), s(t)\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais \displaystyle r(t) = (\sin t,\;t), \displaystyle s(t) = (1+t,\;\sqrt{t})
e pede o produto interno \langle r(t),s(t)\rangle.
O conteúdo aqui é o produto interno em \mathbb{R}^2: se u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2), então
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2.

Passo 2

Identificamos as componentes de r e s:
r_1(t)=\sin t,\quad r_2(t)=t, \quad s_1(t)=1+t,\quad s_2(t)=\sqrt{t}.
Aplicando a definição do produto interno,
\langle r(t),s(t)\rangle = r_1(t)\,s_1(t) + r_2(t)\,s_2(t) = \sin(t)\,(1+t) + t\,\sqrt{t}.
Como t\sqrt{t}=t^{3/2}, temos

Resposta

\langle r(t),s(t)\rangle = (1+t)\,\sin(t) + t^{3/2}.

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