Calcule a integral dupla
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
sobre a região D que é o semicírculo superior de raio 1. O conteúdo é cálculo de integrais duplas e vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A região D em polares é
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \pi.

Passo 3

O integrando x^{2}+y^{2} vira r^{2}, de modo que
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a parte em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
E a parte em \theta:
\int_{0}^{\pi}d\theta = \pi.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados, obtemos
\frac{1}{4}\times \pi = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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