Verifique que as EDO’s dadas são exatas e resolva-as:
\left(x^{2} y^{3}-\frac{1}{1+9 x^{2}}\right) d x+x^{3} y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
\Bigl(x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}}\Bigr)\,dx + x^{3}y^{2}\,dy = 0
é exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: vamos checar se
M(x,y)=x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}} \quad\text{e}\quad N(x,y)=x^{3}y^{2}
satisfazem \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}y^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_{x}(x,y)=M(x,y).
Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int\Bigl(x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}}\Bigr)\,dx =\int x^{2}y^{3}\,dx -\int\frac{1}{1+9x^{2}}\,dx.
A primeira integral é \tfrac{x^{3}y^{3}}{3} e a segunda é \tfrac{1}{3}\arctan(3x), logo
\varphi(x,y) =\frac{x^{3}y^{3}}{3} -\frac{1}{3}\arctan(3x) + h(y),
onde h(y) é “constante” em x.

Passo 4

Agora usamos \phi_{y}(x,y)=N(x,y). Calculando:
\phi_{y}(x,y) =x^{3}y^{2}+h'(y) \overset{!}{=}x^{3}y^{2}.
Isso força h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral fica, implicitamente,
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; \frac{x^{3}y^{3}}{3} -\frac{1}{3}\arctan(3x) =C.
Multiplicando tudo por 3 e renomeando a constante,
x^{3}y^{3}-\arctan(3x)=C'.

Resposta

x^{3}y^{3}-\arctan(3x)=C.

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