Usando as soluções para a onda plana dos campos $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ das equações da questão anterior, mostre que as direções de oscilação dos campos elétrico e magnético são perpendiculares ao vetor de onda $\overrightarrow{k}$ e ambos perpendiculares entre si com a mesma fase de propagação.

Passo 1

O enunciado pede para usar as soluções de onda plana
\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}, \quad \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{B}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}
obtidas das equações de Maxwell no vácuo, e mostrar que \overrightarrow{E}_0 e \overrightarrow{B}_0 são ortogonais a \overrightarrow{k} e entre si, além de terem a mesma fase de propagação. Vamos usar as equações de Maxwell sem cargas nem correntes.

Passo 2

Da equação de Maxwell \nabla\cdot\overrightarrow{E}=0 no vácuo, para a onda plana temos
\nabla\cdot\overrightarrow{E} \;=\; i\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{E}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}=0.
Como o fator exponencial nunca é zero, isso implica
\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{E}_0=0,
ou seja, \overrightarrow{E}_0\perp\overrightarrow{k}. De modo análogo, de \nabla\cdot\overrightarrow{B}=0 segue
\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{B}_0=0,
portanto \overrightarrow{B}_0\perp\overrightarrow{k}.

Passo 3

Da lei de Faraday \nabla\times\overrightarrow{E}=-\partial\overrightarrow{B}/\partial t, para a onda plana temos
\nabla\times\overrightarrow{E} = i\,\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}, \quad -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t} = -(-i\omega)\,\overrightarrow{B}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)} = i\omega\,\overrightarrow{B}_0\,e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}.
Igualando,
i\,\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}_0 = i\omega\,\overrightarrow{B}_0 \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{B}_0=\frac{1}{\omega}\,\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}_0.

Passo 4

Da expressão \overrightarrow{B}_0=(1/\omega)\,\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}_0 segue diretamente que \overrightarrow{B}_0 é perpendicular a \overrightarrow{k} (pois produto vetorial com \overrightarrow{k}) e também perpendicular a \overrightarrow{E}_0. Logo,
\overrightarrow{E}_0\cdot\overrightarrow{B}_0 =\overrightarrow{E}_0\cdot\bigl(\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}_0\bigr)/\omega =0.

Passo 5

Note que tanto \overrightarrow{E} quanto \overrightarrow{B} têm exatamente o mesmo fator de fase
e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)},
o que significa que ambos os campos oscilam com a mesma fase em cada ponto \overrightarrow{r} e instante t.

Resposta

Portanto, para a onda plana em vácuo temos
\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{E}=0, \quad \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{B}=0, \quad \overrightarrow{E}\perp\overrightarrow{B},
e ambos os campos compartilham exatamente a mesma fase de propagação e^{i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)}.

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