Mostre que
\frac{4 \pi}{e} \leq \iint_{D} e^{\operatorname{sen} x \cos y} d A \leq 4 \pi e
onde D é o disco com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sobre o disco D de centro na origem e raio 2, a integral
\iint_{D} e^{\operatorname{sen} x \cos y}\,dA
satisfaça
\frac{4\pi}{e}\;\le\;\iint_{D} e^{\operatorname{sen} x \cos y}\,dA\;\le\;4\pi e.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de comparação para integrais duplas e o fato de que \operatorname{sen} x\cos y está entre -1 e 1.

Passo 2

Para todo (x,y)\in\R^2 vale -1\le\operatorname{sen} x\le1 e -1\le\cos y\le1. Logo, o produto também satisfaz
-1 \;\le\;\operatorname{sen} x\cos y\;\le\;1.

Passo 3

Da desigualdade anterior segue que
e^{-1} \;\le\; e^{\operatorname{sen} x\cos y} \;\le\; e^{1},
ou seja,
\frac{1}{e} \;\le\; e^{\operatorname{sen} x\cos y} \;\le\; e.

Passo 4

Pelo teorema de comparação de integrais duplas, se g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) em D, então
\iint_D g\,dA \;\le\;\iint_D f\,dA\;\le\;\iint_D h\,dA.
Aplicando com g\equiv1/e, f=e^{\operatorname{sen} x\cos y} e h\equiv e, obtemos
\iint_{D}\frac{1}{e}\,dA \;\le\;\iint_{D}e^{\operatorname{sen} x\cos y}\,dA\;\le\;\iint_{D}e\,dA.

Passo 5

Como D é o disco de raio 2, sua área é
\mathrm{Area}(D)=\pi\cdot2^{2}=4\pi.
Logo
\iint_{D}\frac{1}{e}\,dA = \frac{1}{e}\times4\pi, \quad \iint_{D}e\,dA = e\times4\pi.

Passo 6

Reunindo tudo, concluímos
\frac{4\pi}{e}\;\le\;\iint_{D} e^{\operatorname{sen} x \cos y}\,dA\;\le\;4\pi e.

Resposta

\frac{4\pi}{e} \;\le\;\iint_{D} e^{\operatorname{sen} x \cos y}\,dA\;\le\;4\pi e.

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