Mostre que
onde
é o disco com centro na origem e raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sobre o disco
de centro na origem e raio
, a integral
satisfaça
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de comparação para integrais duplas e o fato de que
está entre
e
.
Passo 2
Para todo
vale
e
. Logo, o produto também satisfaz
Passo 3
Da desigualdade anterior segue que
ou seja,
Passo 4
Pelo teorema de comparação de integrais duplas, se
em
, então
Aplicando com
,
e
, obtemos
Passo 5
Como
é o disco de raio
, sua área é
Logo
Passo 6
Reunindo tudo, concluímos