Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res: lambda pm=2
(b) Encontre os autovetores e depois discuta se é possível determinar um conjunto de vetores linearmente independentes que sejam ortogonais entre si.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 3 & 1 -1 & 1
e pede (a) os autovalores, com discussão de multiplicidade algébrica e geométrica, e (b) os autovetores, além de saber se podemos achar um conjunto de vetores independentes que sejam ortogonais entre si.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
O autovalor lambda=2 aparece duas vezes na equação característica, logo tem multiplicidade algébrica igual a 2. Agora, para ver a multiplicidade geométrica, analisamos o espaço nulo de A-2I:
A - 2I = 1 & 1 -1 & -1
Essa matriz tem posto 1, então dimker(A-2I)=2-1=1. Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1.
Passo 4
Para encontrar os autovetores, resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Um autovetor não-nulo pode ser escolhido como
Como a dimensão do espaço de autovetores é 1, todos os autovetores são múltiplos desse.
Passo 5
Para ter um conjunto de vetores linearmente independentes e ortogonais entre si de dimensão 2, precisaríamos de dois autovetores ortogonais. Mas como só existe um autovetor (até escala), não há como obter dois autores independentes, logo não é possível diagonalizar A com uma base ortogonal de autovetores.
Resposta
(a) Os autovalores são lambda1=lambda2=2, com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.
(b) O espaço de autovetores é gerado por l(1,-1r). Não há como obter dois autovetores independentes e ortogonais, pois só existe uma direção de autovetor.