A=(cc 3 & 1 -1 & 1 )
Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res: lambda pm=2
(b) Encontre os autovetores e depois discuta se é possível determinar um conjunto de vetores linearmente independentes que sejam ortogonais entre si.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 1 -1 & 1
e pede (a) os autovalores, com discussão de multiplicidade algébrica e geométrica, e (b) os autovetores, além de saber se podemos achar um conjunto de vetores independentes que sejam ortogonais entre si.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det3-lambda & 1 -1 & 1-lambda = (3-lambda)(1-lambda) - (1)(-1)
Calculando,
(3-lambda)(1-lambda)+1 = 3 -4lambda + lambda^2 +1 = lambda^2 -4lambda +4
As raízes de lambda^2 -4lambda +4=0 são
lambda = 4 pm raiz16 -162 = 42 =2

Passo 3

O autovalor lambda=2 aparece duas vezes na equação característica, logo tem multiplicidade algébrica igual a 2. Agora, para ver a multiplicidade geométrica, analisamos o espaço nulo de A-2I:
A - 2I = 1 & 1 -1 & -1
Essa matriz tem posto 1, então dimker(A-2I)=2-1=1. Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1.

Passo 4

Para encontrar os autovetores, resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Um autovetor não-nulo pode ser escolhido como
Como a dimensão do espaço de autovetores é 1, todos os autovetores são múltiplos desse.

Passo 5

Para ter um conjunto de vetores linearmente independentes e ortogonais entre si de dimensão 2, precisaríamos de dois autovetores ortogonais. Mas como só existe um autovetor (até escala), não há como obter dois autores independentes, logo não é possível diagonalizar A com uma base ortogonal de autovetores.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda1=lambda2=2, com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.
(b) O espaço de autovetores é gerado por l(1,-1r). Não há como obter dois autovetores independentes e ortogonais, pois só existe uma direção de autovetor.

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