Seja A o retângulo [1,2] times[0,1]. Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=raizx+y

Passo 1

Beleza, a gente tem um retângulo e precisa calcular a integral dupla da função sobre esse retângulo. Isso envolve usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões retangulares. Vamos precisar configurar a integral iterada e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Num retângulo como integral duplaA raizx + y , dx , dy = integral0^1 integral1^2 raizx + y , dx , dy , os limites de integração são diretos: varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Então, a integral dupla fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a integral1^2 raizx + y , dx . Para isso, tratamos como uma constante. A integral interna é:
Para integrar , fazemos uma substituição simples: , então .

Passo 4

Com a substituição integral1 + y^2 + y raizu , du = integral1 + y^2 + y u^1/2 , du = [ 23 u^3/2 ]1 + y^2 + y , os limites de 23 ( (2 + y)^3/2 - (1 + y)^3/2 ) mudam de:
  • Quando ,
  • Quando ,
Agora, a integral fica:
Aplicando os limites:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 23 ( (2 + y)^3/2 - (1 + y)^3/2 ) dy
Podemos tirar o fator 23 integral0^1 ( (2 + y)^3/2 - (1 + y)^3/2 ) dy para fora:
23 [ 25 (2 + y)^5/2 - 25 (1 + y)^5/2 ]0^1
Vamos integrar cada termo separadamente. Para 25 (3)^5/2 - 25 (2)^5/2 , a primitiva é 25 (2)^5/2 - 25 (1)^5/2 .
Aplicando isso:
23 [ 25 (3^5/2 - 2^5/2) - 25 (2^5/2 - 1^5/2) ]
Calculando nos limites:
Para 415 (3^5/2 - 2 cdot 2^5/2 + 1) :
3^5/2 = 3^2 cdot raiz3 = 9 raiz3 approx 15,588
Para 2^5/2 = 2^2 cdot raiz2 = 4 raiz2 approx 5,657 :
415 (15,588 - 2 cdot 5,657 + 1) = 415 (15,588 - 11,314 + 1) = 415 (5,274) approx 1,4096
Subtraindo:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Então:

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente .

Exercícios relacionados