Seja
o retângulo
. Calcule
para:
Passo 1
Beleza, a gente tem um retângulo
e precisa calcular a integral dupla da função
sobre esse retângulo. Isso envolve usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões retangulares. Vamos precisar configurar a integral iterada e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Num retângulo como
, os limites de integração são diretos:
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a 1. Então, a integral dupla fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante. A integral interna é:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples:
, então
.
Passo 4
Com a substituição
, os limites de
mudam de:
- Quando
, - Quando
,
Agora, a integral fica:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar o fator
para fora:
Vamos integrar cada termo separadamente. Para
, a primitiva é
.
Aplicando isso:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Então:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente
.