Utilizando a questão anterior, calcule:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é o retângulo
. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar áreas, volumes ou, no nosso caso, integrar uma função sobre uma região plana. Vamos precisar saber como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Quando temos
, estamos somando os valores da função
sobre toda a região
. Como
é um retângulo
, podemos resolver a integral fazendo duas integrações, uma sobre
de 0 a 2 e outra sobre
de 1 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A função que vamos integrar é
. Como
é uma constante em relação a
, a integral fica assim:
Agora, integramos
de 0 a 2:
Então, a integral em
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
de 1 a 2:
Para integrar
, usamos integração por partes. Sabemos que:
Aplicando os limites:
Sabemos que
, então simplificando:
Distribuindo o 2:
Resposta
A integral dupla vale
.