Utilizando a questão anterior, calcule:
integral duplaA x ln (y) d x d y, onde A=[0,2] times[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaA x ln (y) , dx , dy, onde a região A é o retângulo [0,2] times [1,2]. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar áreas, volumes ou, no nosso caso, integrar uma função sobre uma região plana. Vamos precisar saber como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Quando temos integral duplaA f(x, y) , dx , dy, estamos somando os valores da função f(x, y) sobre toda a região A. Como A é um retângulo [0,2] times [1,2], podemos resolver a integral fazendo duas integrações, uma sobre x de 0 a 2 e outra sobre y de 1 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a x. A função que vamos integrar é x ln(y). Como ln(y) é uma constante em relação a x, a integral fica assim:
integral0^2 x ln(y) , dx = ln(y) integral0^2 x , dx
Agora, integramos x de 0 a 2:
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2
Então, a integral em x fica:
ln(y) times 2 = 2 ln(y)

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 2 ln(y) , dy = 2 integral1^2 ln(y) , dy
Para integrar ln(y), usamos integração por partes. Sabemos que:
integral ln(y) , dy = y ln(y) - y + C
Aplicando os limites:
2 [ y ln(y) - y ]1^2 = 2 [ (2 ln(2) - 2) - (1 ln(1) - 1) ]
Sabemos que ln(1) = 0, então simplificando:
2 [ 2 ln(2) - 2 - (0 - 1) ] = 2 [ 2 ln(2) - 2 + 1 ] = 2 [ 2 ln(2) - 1 ]
Distribuindo o 2:
4 ln(2) - 2

Resposta

A integral dupla vale 4 ln(2) - 2.

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