Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^3 e^x-y d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral iterada integral0^2 integral0^3 e^x - y ,dy,dx. O assunto é integração iterada de funções exponenciais, e vamos usar a propriedade que separa x e y dentro do expoente para integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna, tratamos x como constante e integramos e^x - y = e^x cdot e^-y em relação a y. Usamos que integral e^-y ,dy = -e^-y. Assim,
integral0^3 e^x - y ,dy = e^x integral0^3 e^-y ,dy = e^x l[-e^-yr]0^3 = e^x l(1 - e^-3r)
Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
integral0^2 e^x l(1 - e^-3r) ,dx = l(1 - e^-3r) integral0^2 e^x ,dx

Passo 3

Na última integral, usamos integral e^x ,dx = e^x. Então,
integral0^2 e^x ,dx = l[e^xr]0^2 = e^2 - 1
Juntando tudo, o resultado final é o produto desses fatores.

Passo 4

O resultado final da integral é:

Resposta

(1 - e^-3),(e^2 - 1)

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