O valor da integral é integral0^4 integralraizx^2 cos (y^3) d y d x:
3 sin 8
Dica: Pode ser conveniente mudar a ordem de integração para resolver a integral.

Passo 1

Ei! Vamos resolver a integral dupla que você enviou:
integral0^4 integralraizx^2 cos (y^3) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que envolve integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região no plano xy. A dica que você deu sugere trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante a resolução. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que:
  • x varia de 0 a 4.
  • Para cada x, y varia de √x até 2.
Isso significa que a região está limitada pela parábola y = √x e pela linha horizontal y = 2. Para facilitar a integração, vamos desenhar essa região e trocar a ordem das integrações.

Passo 3

Ao trocar a ordem de integração, queremos que y seja a primeira variável a variar, e x a segunda. Então, precisamos determinar os novos limites:
  • y variará de 0 a 2 (já que y = √x começa em y=0 quando x=0 e vai até y=2).
  • Para cada y, x vai de 0 até (porque se $ y = \sqrt{x} $, então $ x = y^2 $).
Então, a integral fica:
y = raizx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Note que cos(y^3) não depende de x, então a integral em x é simples:
integral0^y^2 cos (y^3) , dx = cos (y^3) cdot x g|0^y^2 = cos (y^3) cdot y^2
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma única integral:
integral0^2 y^2 cos (y^3) , dy

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição u. Vamos definir:
u = y^3 dudy = 3y^2 Rightarrow y^2 dy = du3
Substituindo na integral:
integral0^2 y^2 cos (y^3) , dy = integralu=0^u=8 cos(u) cdot du3 = 13 integral0^8 cos(u) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar cos(u) em relação a u:
integral cos(u) , du = sin(u) + C
Aplicando os limites de integração:
13 [ sin(u) ]0^8 = 13 ( sin(8) - sin(0) ) = 13 sin(8)

Resposta

O valor da integral é:
13 sin(8)

Exercícios relacionados