O valor da integral é :
Dica: Pode ser conveniente mudar a ordem de integração para resolver a integral.
Passo 1
Ei! Vamos resolver a integral dupla que você enviou:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que envolve integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região no plano xy. A dica que você deu sugere trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante a resolução. Vamos ver como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que:
x varia de 0 a 4.
Para cada x, y varia de √x até 2.
Isso significa que a região está limitada pela parábola y = √x e pela linha horizontal y = 2. Para facilitar a integração, vamos desenhar essa região e trocar a ordem das integrações.
Passo 3
Ao trocar a ordem de integração, queremos que y seja a primeira variável a variar, e x a segunda. Então, precisamos determinar os novos limites:
y variará de 0 a 2 (já que y = √x começa em y=0 quando x=0 e vai até y=2).
Para cada y, x vai de 0 até y² (porque se $ y = \sqrt{x} $, então $ x = y^2 $).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Note que não depende de x, então a integral em x é simples:
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma única integral:
integral0^2 y^2 cos (y^3) , dy
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição u. Vamos definir:
u = y^3 dudy = 3y^2 Rightarrow y^2 dy = du3
Substituindo na integral:
integral0^2 y^2 cos (y^3) , dy = integralu=0^u=8 cos(u) cdot du3 = 13 integral0^8 cos(u) , du