Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^3 integraly^2^9 y cos (y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. O enunciado nos dá uma integral dupla:
integral0^3 integraly^2^9 y cos (y^2) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, precisamos entender os limites de integração atuais e reescrevê-los de forma que seja integrado primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos variando de 0 a 3, e para cada , varia de a 9. Isso significa que a região está limitada pela parábola e pela linha vertical .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . A partir da equação , temos . Então, para um dado , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, determinamos os novos limites de integração. varia de 0 a 9 (já que vai de 0 a 3 e , então vai até ). Para cada , varia de 0 a .

Passo 5

Com os novos limites, reescrevemos a integral:
integral0^9 integral0^raizx y cos (y^2) , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raizx y cos (y^2) , dy :
12 integral0^x cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^x = 12 ( sin(x) - 0 ) = 12 sin(x)
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Assim, a integral se torna:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^9 12 sin(x) , dx = 12 integral0^9 sin(x) , dx
Integrando 12 [ -cos(x) ]0^9 = 12 ( -cos(9) + cos(0) ) = 12 ( 1 - cos(9) ) :

Resposta

A integral vale:
12 (1 - cos(9))

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