Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. O enunciado nos dá uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, precisamos entender os limites de integração atuais e reescrevê-los de forma que
seja integrado primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Temos
variando de 0 a 3, e para cada
,
varia de
a 9. Isso significa que a região está limitada pela parábola
e pela linha vertical
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação
, temos
. Então, para um dado
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, determinamos os novos limites de integração.
varia de 0 a 9 (já que
vai de 0 a 3 e
, então
vai até
). Para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 5
Com os novos limites, reescrevemos a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. Assim, a integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Integrando
:
Resposta
A integral vale: