Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (0,0) x sen(1x^2+y^2)

Passo 1

A questão pede o limite de f(x,y)=xsinl(1/(x^2+y^2)r) quando (x,y)to(0,0). O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e o que vamos usar é o Teorema do Confronto (ou Desigualdade do Aperto), além da propriedade de que a função seno é limitada.

Passo 2

Para aplicar o Teorema do Confronto, lembramos que para todo tinR vale
|sin(t)|<=1
Isso vale em especial para t=1/(x^2+y^2), sempre que (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Com essa desigualdade, temos
l|xsin(1/(x^2+y^2))r|<=|x|cdot1=|x|
Quando (x,y)to(0,0), claramente |x|to0. Pelo Teorema do Confronto, como
-|x|<= xsin(1/(x^2+y^2))<=|x|
e |x|to0), segue que xsin(1/(x^2+y^2))to0.

Passo 4

Portanto, o limite existe e é zero.

Resposta

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