onde é a região limitada pelas retas e , e pelas parábolas e . Como e que sugere a transformação .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde a região é limitada por , , e . O enunciado já sugere usar a transformação e .
Passo 2
Expressamos e em função de . De vem . Substituindo em dá , logo Calculamos o jacobiano:
Montamos a matriz dos parciais e achamos Assim dA=dx,dy=12u,du,dv.
Passo 3
As curvas de fronteira em (u,v) viram u=tfrac12 até u=1 e v=1 até v=2. Então a integral fica integral duplaR e^xy,dA=integralu=1/2^1integralv=1^2 e^v12u,dv,du
Passo 4
Integramos primeiro em v: integralv=1^2 e^v,dv=e^2-e^1=e^2-e Fica integral1/2^1e^2-e2u,du=e^2-e2integral1/2^1duu=e^2-e2l[ln ur]1/2^1
Avaliamo o logaritmo: ln1-ln(1/2)=ln2. Portanto a integral vale tfrace^2-e2ln2.