Calcule a integral dupla
integral duplaR e^x y d A,
onde R é a região limitada pelas retas y=12 x e y=x, e pelas parábolas y=1x e y=2x. Como yx=12, yx=1, x y=1 e x y=2 que sugere a transformação u=yx, v=x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^xy,dA, onde a região R é limitada por y=tfrac12x, y=x, xy=1 e xy=2. O enunciado já sugere usar a transformação u= yx e v=xy.

Passo 2

Expressamos x e y em função de (u,v). De u=y/x vem y=ux. Substituindo em v=xy v=ux^2, logo x=raiz v u, y=uraiz v u=raizuv Calculamos o jacobiano:
Montamos a matriz dos parciais e achamos l|detpartial(x,y)partial(u,v)r|=12u Assim dA=dx,dy=12u,du,dv.

Passo 3

As curvas de fronteira em (u,v) viram u=tfrac12 até u=1 e v=1 até v=2. Então a integral fica integral duplaR e^xy,dA=integralu=1/2^1integralv=1^2 e^v12u,dv,du

Passo 4

Integramos primeiro em v: integralv=1^2 e^v,dv=e^2-e^1=e^2-e Fica integral1/2^1e^2-e2u,du=e^2-e2integral1/2^1duu=e^2-e2l[ln ur]1/2^1
Avaliamo o logaritmo: ln1-ln(1/2)=ln2. Portanto a integral vale tfrace^2-e2ln2.

Resposta

e^2-e2ln2

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