Encontre a equacao da reta tangente e a reta normal a curva C no ponto indicado p0
(b) A curva C tem equacao
x^2+(y-1)^2=1
no ponto $p_{0}=(0,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva C definida implicitamente por
x^2 + (y-1)^2 = 1
e pede as retas tangente e normal em p0=(0,2). Como C é um círculo de centro (0,1) e raio 1, vamos usar diferenciação implícita para obter y' e então achar as equações da reta tangente (com coeficiente angular mt=y') e da reta normal (coeficiente angular mn=-1/mt).

Passo 2

Diferenciando em relação a x ambos os lados de
x^2 + (y-1)^2 = 1
temos
2x + 2(y-1),dydx = 0
Isolando dydx,
dydx = -xy-1

Passo 3

No ponto p0=(0,2) substituímos x=0 e y=2 em
y' = -xy-1
para obter
y'|(0,2) = -02-1 = 0
Logo o coeficiente angular da reta tangente é mt=0.

Passo 4

A equação da reta tangente, usando a forma ponto-inclinação y - y0 = mt(x - x0), fica
y - 2 = 0 cdot (x - 0)
portanto
y = 2

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é
mn = -1mt = -10,
ou seja, a normal é vertical. A equação vertical passando por x=0 é
x = 0

Resposta

reta tangente: y = 2
reta normal: x = 0

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