Encontre a equacao da reta tangente e a reta normal a curva no ponto indicado
(b) A curva tem equacao
no ponto $p_{0}=(0,2).
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede as retas tangente e normal em . Como é um círculo de centro e raio , vamos usar diferenciação implícita para obter e então achar as equações da reta tangente (com coeficiente angular ) e da reta normal (coeficiente angular ).
Passo 2
Diferenciando em relação a ambos os lados de
temos
Isolando ,
Passo 3
No ponto substituímos e em
para obter
Logo o coeficiente angular da reta tangente é mt=0.
Passo 4
A equação da reta tangente, usando a forma ponto-inclinação y - y0 = mt(x - x0), fica
y - 2 = 0 cdot (x - 0)
portanto
y = 2
Passo 5
O coeficiente angular da reta normal é
mn = -1mt = -10,
ou seja, a normal é vertical. A equação vertical passando por x=0 é