Encontre a equacao da reta tangente e a reta normal a curva no ponto indicado
(a) A curva tem equacao
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . A curva é o círculo unitário dado por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar o coeficiente angular das retas que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos derivar a equação em relação a :
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos resolver para :
Essa é a derivada que representa a inclinação da reta tangente no ponto qualquer da curva .
Passo 4
Vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, o coeficiente angular da reta tangente é mtan>=nte = -1 .
Passo 5
Com o coeficiente angular mtan>=nte = -1 , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
y - y0 = mtan>=nte (x - x0)
Substituindo os valores:
y - 1raiz2 = -1 (x - 1raiz2)
Simplificando:
y = -x + 2raiz2 y = -x + raiz2
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos calcular o seu coeficiente angular. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos inversos um do outro. Portanto:
mnormal = -1mtan>=nte = -1-1 = 1
Usando a mesma fórmula da reta, temos:
y - 1raiz2 = 1 (x - 1raiz2)
Simplificando:
y = x
Resposta
A equação da reta tangente à curva C no ponto p0 é:
y = -x + raiz2
E a equação da reta normal à curva C no mesmo ponto é: