Encontre a equacao da reta tangente e a reta normal a curva C no ponto indicado p0
(a) A curva C tem equacao
x^2+y^2=1
no ponto p0=(1 / raiz2, 1 / raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva C no ponto p0 = (1raiz2, 1raiz2) . A curva C é o círculo unitário dado por x^2 + y^2 = 1 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar o coeficiente angular das retas que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva C para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos derivar a equação x^2 + y^2 = 1 em relação a x :
ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(1)
Isso nos dá:
2x + 2y dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver para dydx :
2y dydx = -2x dydx = -xy
Essa é a derivada que representa a inclinação da reta tangente no ponto qualquer da curva C .

Passo 4

Vamos calcular o valor da derivada no ponto p0 = (1raiz2, 1raiz2) :
dydx g|p0 = -1raiz21raiz2 = -1
Então, o coeficiente angular da reta tangente é mtan>=nte = -1 .

Passo 5

Com o coeficiente angular mtan>=nte = -1 , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
y - y0 = mtan>=nte (x - x0)
Substituindo os valores:
y - 1raiz2 = -1 (x - 1raiz2)
Simplificando:
y = -x + 2raiz2 y = -x + raiz2

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos calcular o seu coeficiente angular. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos inversos um do outro. Portanto:
mnormal = -1mtan>=nte = -1-1 = 1
Usando a mesma fórmula da reta, temos:
y - 1raiz2 = 1 (x - 1raiz2)
Simplificando:
y = x

Resposta

A equação da reta tangente à curva C no ponto p0 é:
y = -x + raiz2
E a equação da reta normal à curva C no mesmo ponto é:
y = x

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