Considere a tabela
-2 -1 0 0.5 1 1.5 2
-9.8 -2.9 -2 -1.87 -1.1 1.38 1.9
Construa a tabela de diferenças divididas sobre todos os pontos. Argumente sobre a escolha do grau do polinômio que interpola o conjunto de dados.

Passo 1

Resumindo: queremos construir a tabela de diferenças divididas para os 7 pontos dados e, a partir dela, decidir o grau do polinômio que interpola exatamente esses dados. O conteúdo é Interpolação por diferenças divididas de Newton.

Passo 2

A diferença dividida de primeira ordem é definida por
f[xi,xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
e, em geral, a diferença dividida de ordem k por
f[xi,dots,xi+k] = f[xi+1,dots,xi+k] - f[xi,dots,xi+k-1]xi+k - xi

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1]=6.9, f[x1,x2]=0.9, f[x2,x3]=0.26, f[x3,x4]=1.54, f[x4,x5]=4.96, f[x5,x6]=1.04

Passo 4

Calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x0,x1,x2]=-3, f[x1,x2,x3]=-0.4267, f[x2,x3,x4]=1.28, f[x3,x4,x5]=3.42, f[x4,x5,x6]=-3.92

Passo 5

Calculamos as diferenças divididas de terceira ordem:
f[x0,dots,x3]=1.0293, f[x1,dots,x4]=0.8533, f[x2,dots,x5]=1.4267, f[x3,dots,x6]=-4.8933

Passo 6

Calculamos as diferenças divididas de quarta ordem:
f[x0,dots,x4]=-0.05867, f[x1,dots,x5]=0.22933, f[x2,dots,x6]=-3.16

Passo 7

Calculamos a diferença dividida de quinta ordem:
f[x0,dots,x5]=0.08229, f[x1,dots,x6]=-1.12978

Passo 8

Calculamos a diferença dividida de sexta ordem:
f[x0,dots,x6]=-0.30302

Passo 9

Como temos 7 pontos distintos, o polinômio interpolador exato tem grau no máximo 6. Além disso, a sexta diferença dividida é não nula, o que confirma que o grau do polinômio de Newton interpolador é exatamente 6.

Resposta

O polinômio interpolador exato para esses 7 pontos tem grau 6.

Exercícios relacionados