Calcule a integral dupla.
integral duplaR x y d A ; R é a região compreendida por y=raizx, y=6-x e y=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral dupla integral duplaR x y,dA, onde R é a região limitada pelas curvas y=raizx, y=6-x e y=0. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e o primeiro passo é encontrar os limites de integração a partir dessas curvas.

Passo 2

Determinação dos limites de integração: para achar a interseção entre y=raizx e y=6-x, resolvemos
raizx=6-x
Fazendo t=raizx, temos t^2+t-6=0, cujas raízes são t=2 ou t=-3. Só interessa t=2, logo x=4 e y=2. Assim, para y de 0 a 2, a fronteira esquerda é dada por x=y^2 e a direita por x=6-y.

Passo 3

Montagem da integral iterada:
integraly=0^2integralx=y^2^6-y x,y,dx,dy

Passo 4

Cálculo da integral interna em x:
integraly^2^6-y x,y,dx = y[x^22]x=y^2^6-y = y2l((6-y)^2 - y^4r)

Passo 5

Cálculo da integral em y: primeiro expandimos
(6-y)^2 = 36 -12y + y^2
e então
12integral0^2l(36y -12y^2 + y^3 - y^5r)dy
Integrando termo a termo e avaliando de 0 a 2 obtemos
12times1003 = 503

Resposta

503

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