Verifique se os vetores abaixo são combinação linear de v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1).
v=(-6,0,-3). Podemos dizer que v é gerado por v1, v2 e v3?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe escalares a, b e c tais que
a,v1+b,v2+c,v3=v,
onde v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1) e v=(-6,0,-3). Vamos usar álgebra matricial/resolução de sistema linear pelas componentes.

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
a - b + c = -6, -,a + b + c = 0, 2,a + b + c = -3

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  1. Somando a primeira e a segunda equações:
(a - b + c) + (-a + b + c) = -6 + 0 Longrightarrow 2,c = -6 Longrightarrow c = -3
  1. Em -a + b + c = 0 substituímos c=-3:
-,a + b - 3 = 0 Longrightarrow b = a + 3
  1. Em 2a + b + c = -3 substituímos b=a+3 e c=-3:
2a + (a+3) - 3 = -3 Longrightarrow 3a = -3 Longrightarrow a = -1,
logo b = -1 + 3 = 2.

Passo 4

Encontramos a = -1, b = 2, c = -3. Assim
v = -1cdot v1 ;+;2cdot v2;-;3cdot v3
Como há solução, concluímos que v pertence ao espaço gerado por v1,v2,v3.

Resposta

v = -1,v1 + 2,v2 - 3,v3, portanto v é gerado por v1,v2,v3.

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