Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d in P3 / c=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = lp(x)=a x^3+b x^2+c x+din P3mid c=1r
é subespaço do espaço vetorial P3 (polinômios de grau até 3). Para isso, usaremos o teste de subespaço vetorial, que exige três propriedades:
  1. O polinômio zero deve pertencer a S.
  2. S deve ser fechado sob soma de polinômios.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do polinômio zero.
O polinômio zero em P3 é
p0(x)=0cdot x^3+0cdot x^2+0cdot x+0,
cujo coeficiente de x é c=0. Como em S exigimos c=1, temos p0notin S. Portanto, a primeira propriedade já falha.

Passo 3

Verificação de fechamento sob soma.
Suponha dois polinômios em S, por exemplo
p(x)=x e q(x)=x,
ambos têm coeficiente de x igual a 1. A soma é
(p+q)(x)=x+x=2x,
que tem coeficiente de x igual a 2neq1. Logo, p+qnotin S, falhando o fechamento sob soma.

Passo 4

Verificação de fechamento sob multiplicação por escalar.
Escolha p(x)=xin S e o escalar lambda=0. Então
(lambda p)(x)=0cdot x=0,
cujo coeficiente de x é 0neq1. Assim, lambda pnotin S, falhando o fechamento sob escalar.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço vetorial de P3.

Exercícios relacionados