Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial
(polinômios de grau até 3). Para isso, usaremos o teste de subespaço vetorial, que exige três propriedades:
- O polinômio zero deve pertencer a
. -
deve ser fechado sob soma de polinômios. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do polinômio zero.
O polinômio zero em é
O polinômio zero em
cujo coeficiente de
é
. Como em
exigimos
, temos
. Portanto, a primeira propriedade já falha.
Passo 3
Verificação de fechamento sob soma.
Suponha dois polinômios em , por exemplo
Suponha dois polinômios em
ambos têm coeficiente de
igual a
. A soma é
que tem coeficiente de
igual a
. Logo,
, falhando o fechamento sob soma.
Passo 4
Verificação de fechamento sob multiplicação por escalar.
Escolha e o escalar
. Então
Escolha
cujo coeficiente de
é
. Assim,
, falhando o fechamento sob escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.