Calcule a integral dupla:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície
sobre uma região
no plano
. Neste caso,
.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
. Podemos usar a substituição para resolver. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Avaliação dos limites de
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando cada parte:
Avaliação dos limites de
:
Resposta
A integral dupla vale
.