Calcule a integral dupla:
integral duplaR x e^x y d A ; R=(x, y) ; 1 <= x <= 3 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície sobre uma região no plano . Neste caso, .

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a integralx=1^3 ( integraly=0^1 x e^x y , dy ) dx e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 x e^x y , dy :
integral e^u cdot dux cdot x = integral e^u , du = e^u + C = e^x y + C
Aqui, e^x cdot 1 - e^x cdot 0 = e^x - 1 é uma constante em relação a . Podemos usar a substituição para resolver. Seja , então ou . Substituindo na integral:
Avaliação dos limites de :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 (e^x - 1) , dx = integral1^3 e^x , dx - integral1^3 1 , dx
Calculando cada parte:
integral e^x , dx = e^x + C e integral 1 , dx = x + C
Avaliação dos limites de [e^x]1^3 - [x]1^3 = (e^3 - e^1) - (3 - 1) = e^3 - e - 2 :

Resposta

A integral dupla vale .

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