Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
(y - raiz(t^(-) y^2)) dt - t dy = 0, y(1) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A gente tem um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, como métodos de separação de variáveis ou outros métodos apropriados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Vamos colocar tudo em termos de :
Isolando :
Simplificando a raiz:

Passo 3

Agora, podemos dividir ambos os lados por para isolar :
Isso nos dá:

Passo 4

Essa equação pode ser escrita como uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar e :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é direta:

Passo 6

Calculando as integrais do lado direito:
E:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Elevando ambos os lados como potência de :
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Para que isso seja verdade, deve ser zero:

Passo 9

Com , a solução geral da equação é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é para todo .

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