Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A gente tem um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, como métodos de separação de variáveis ou outros métodos apropriados. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Vamos colocar tudo em termos de
:
Isolando
:
Simplificando a raiz:
Passo 3
Agora, podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Isso nos dá:
Passo 4
Essa equação pode ser escrita como uma equação diferencial de separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar
e
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é direta:
Passo 6
Calculando as integrais do lado direito:
E:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Para que isso seja verdade,
deve ser zero:
Passo 9
Com
, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
para todo
.