Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
(n) integral 1x(x^2-x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como uma soma de termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Assumimos que a decomposição será da forma:
1x(x^2-x+1)^2 = Ax + Bx + Cx^2-x+1 + Dx + E(x^2-x+1)^2
onde são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x^2-x+1)^2 + (Bx + C)x(x^2-x+1) + (Dx + E)x para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandimos e simplificamos a equação resultante para igualar os coeficientes dos termos de mesma potência de . Após simplificação, obtemos um sistema de equações para determinar .

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações, encontramos os valores:
A = 1, B = -1, C = 1, D = 0, E = -1

Passo 7

Substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
1x(x^2-x+1)^2 = 1x + -x + 1x^2-x+1 + -1(x^2-x+1)^2

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x dx + integral -x + 1x^2-x+1 dx + integral -1(x^2-x+1)^2 dx

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
integral 1x dx = ln|x|

Passo 10

Para o segundo termo, fazemos uma substituição integral -x + 1x^2-x+1 dx = -12 ln|x^2-x+1| , então . Ajustando, conseguimos integrar e obter:

Passo 11

Para o terceiro termo, utilizamos uma substituição trigonométrica ou reconhecimento de uma derivada padrão, integrando e obtendo:
integral -1(x^2-x+1)^2 dx = xx^2-x+1

Resposta

Juntando todas as integrais, temos:
ln|x| - 12 ln|x^2-x+1| + xx^2-x+1 + C
onde é a constante de integração.

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