Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como uma soma de termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 3
Assumimos que a decomposição será da forma:
onde
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandimos e simplificamos a equação resultante para igualar os coeficientes dos termos de mesma potência de
. Após simplificação, obtemos um sistema de equações para determinar
.
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações, encontramos os valores:
Passo 7
Substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 9
Integrando o primeiro termo:
Passo 10
Para o segundo termo, fazemos uma substituição
, então
. Ajustando, conseguimos integrar e obter:
Passo 11
Para o terceiro termo, utilizamos uma substituição trigonométrica ou reconhecimento de uma derivada padrão, integrando e obtendo:
Resposta
Juntando todas as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.