Calcule a integral dupla.
integral duplax sen(x+y) d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= pi / 2,0 <= y <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaRsin(x+y),dA,
onde R=(x,y)mid 0<= x<= tfracpi2,,0<= y<= tfracpi2.
O conteúdo envolve o Teorema de Fubini para transformar a integral em iterada e depois usar antiderivadas de sin.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaRsin(x+y),dA =integralx=0^pi/2!l(integraly=0^pi/2sin(x+y),dyr),dx
Para a integral interna em y temos
integral0^pi/2sin(x+y),dy =l[-cos(x+y)r]y=0^pi/2 =-cos!l(x+tfracpi2r)+cos(x) =sin x+cos x

Passo 3

Agora calculamos a integral em x:
integral0^pi/2!l(sin x+cos xr),dx =l[-cos x+sin xr]0^pi/2 =l(0+1r)-l(-1+0r) =2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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