Determine o volume do sólido limitado pela superficie z=1+e^prime sen y e pelos planos x= pm 1, y=0, y=pi e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por
– a superfície z = 1 + e,sin y,
– os planos verticais x=-1 e x=1,
– os planos y=0 e y=pi,
– e o plano z=0.
Este é um problema de integração dupla: o volume vale
V = integral duplaDl(1+e,sin yr),dA,
onde D é o retângulo (x,y)mid -1<= x<=1,;0<= y<=pi.

Passo 2

Como z varia de 0 até 1+esin y, o volume é
V = integralx=-1^1integraly=0^pil(1+e,sin yr),dy,dx
Note que a integranda não depende de x, então podemos separar a integral em x e y.

Passo 3

Integramos primeiro em x:
V = integraly=0^pil(1+e,sin yr)l(integralx=-1^1dxr),dy = integraly=0^pil(1+e,sin yr)cdot 2,dy = 2integral0^pil(1+e,sin yr),dy

Passo 4

Agora expandimos e integramos em y:
2integral0^pi1,dy ;+;2eintegral0^pisin y,dy = 2l[yr]0^pi + 2el[-cos yr]0^pi = 2l(pi-0r) + 2el(-cospi + cos0r)
Como cospi=-1 e cos0=1,
-cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2,
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V = 2pi + 2ecdot 2 = 2pi + 4e

Resposta

V = 2pi + 4e

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