Uma particula desloca-se em um campo de forças F(x, y, z)=-y i+x j^barz+z k. Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de gamma(a) até gamma(b) sendo dados gamma(t)=(2 t+1, t-1, t), a=1 e b=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho de uma força no deslocamento de uma partícula. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial. Vamos usar que o trabalho é dado por W=integralgamma vec Fcdot dvec r e parametrizar a curva gamma(t).

Passo 2

Precisamos ver se é campo conservativo, pois se fosse bastaria usar função potencial. Calculamos o rotacional:
Como o rotacional não é zero, não é conservativo e temos que fazer a integral direta.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva e seu diferencial. A curva é gamma(t)=(2t+1,,t-1,,t), com t variando de a=1 até b=0. Então:
gamma'(t)=(2,,1,,1)

Passo 4

Substituímos vec F ao longo de gamma(t). Como vec F(x,y,z)=(-y,,x,,z), temos
vec F(gamma(t)) = (-(t-1),,2t+1,,t) = (1-t,,2t+1,,t)

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar vec F(gamma(t))cdot gamma'(t):
(1-t,,2t+1,,t)cdot(2,,1,,1)=2(1-t)+(2t+1)+t =3+t

Passo 6

O trabalho é a integral de t=1 até t=0 de 3+t. Assim:
W=integral1^0(3+t),dt = l[3t+tfract^22r]1^0 = 0 - l(3+tfrac12r) = -tfrac72

Resposta

-7/2

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