Calcule a integral dupla invertendo a ordem de integração
integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 d x d y

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1,dx,dy
O conteúdo é troca de ordem de integração. Vamos precisar descrever a região de integração, inverter a ordem e resolver a integral resultante usando substituição.

Passo 2

A região D é
0<= y<=1, raizy<= x<=1
Como raizy<= x equivale a y<= x^2 e sempre y>=0, obtemos que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até x^2.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, escrevemos
integral0^1integral0^x^2raizx^3+1,dy,dx
Como o integrando não depende de y, a integral interna é
raizx^3+1times(x^2-0)=x^2raizx^3+1,
ficando
integral0^1x^2raizx^3+1,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^1x^2raizx^3+1,dx
fazemos u=x^3+1, de modo que du=3x^2,dx, isto é, x^2,dx=du3. Quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=2. Assim
integral0^1x^2raizx^3+1,dx =13integral1^2u^1/2,du =13cdot23l[u^3/2r]1^2 =29l(2^3/2-1r)

Resposta

29l(2raiz2-1r)

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