Prove que a se a sequência é convergente então a sequência também é convergente. Além disso, se então
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se a sequência real converge para algum , então a sequência também converge e seu limite é . O que vamos precisar é da desigualdade triangular reversa, que expressa a continuidade da função .
Passo 2
Lembramos a desigualdade triangular reversa: para quaisquer vale
Esta desigualdade é facilmente obtida a partir da desigualdade triangular usual |x|=|,x-y+y|<=|x-y|+|y| e de sua versão simétrica, trocando x e y.
Passo 3
Agora façamos o argumento de convergência propriamente dito. Suponha que limntoinftyan=L. Então, por definição, dado varepsilon>0 existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an-L|<varepsilon
Pela desigualdade triangular reversa, temos para esses mesmos n
l|lvert anrvert-lvert Lrvertr|<=|an-L|<varepsilon
Isso mostra exatamente que limntoinftylvert anrvert=lvert Lrvert.