Prove que a se a sequência an é convergente então a sequência |an| também é convergente. Além disso, se lim n infty an=L então lim n infty|an|=|L|

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, se a sequência real an converge para algum LinR, então a sequência lvert anrvert também converge e seu limite é lvert Lrvert. O que vamos precisar é da desigualdade triangular reversa, que expressa a continuidade da função xmapstolvert xrvert.

Passo 2

Lembramos a desigualdade triangular reversa: para quaisquer x,yinR vale
l|lvert xrvert-lvert yrvertr|<= |x-y|
Esta desigualdade é facilmente obtida a partir da desigualdade triangular usual |x|=|,x-y+y|<=|x-y|+|y| e de sua versão simétrica, trocando x e y.

Passo 3

Agora façamos o argumento de convergência propriamente dito. Suponha que limntoinftyan=L. Então, por definição, dado varepsilon>0 existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an-L|<varepsilon
Pela desigualdade triangular reversa, temos para esses mesmos n
l|lvert anrvert-lvert Lrvertr|<=|an-L|<varepsilon
Isso mostra exatamente que limntoinftylvert anrvert=lvert Lrvert.

Resposta

Portanto, a sequência lvert anrvert converge e
limntoinftylvert anrvert=lvert Lrvert

Exercícios relacionados