Verifique se a sequência raiz3, raiz3 raiz3, raiz3 raiz3 raiz3, cdots é convergente ou não. Se for o caso calcule o limite.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a1 = raiz3, an+1 = raiz3,an,
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular o limite. O conteúdo aqui é análise de sequência recursiva, usando monotonia e limitação para concluir convergência, e depois achar o ponto fixo.

Passo 2

Mostramos que an é estritamente crescente. De fato, para n>=1 temos
an+1 = raiz3,an > an
se, e somente se,
3,an > an^2 Long<=ftrightarrow an < 3
No passo a seguir vamos verificar que sempre vale an<3, então fica provado que an+1>an.

Passo 3

Mostramos por indução que an < 3 para todo n.
Base: a1 = raiz3 < 3.
Passo indutivo: se an < 3, então
an+1 = raiz3,an < raiz3cdot3 = 3
Logo, por indução, an<3 para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente por 3.

Passo 4

Como an é crescente e limitada acima, ela converge. Seja
L = limntoinfty an
Tomando limite na relação an+1 = raiz3,an, obtemos
L = raiz3,L Longrightarrow L^2 = 3,L Longrightarrow L(L-3)=0
Como an>0 para todo n, temos L=3.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 3.

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