Verifique se a sequência
é convergente ou não. Se for o caso calcule o limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular o limite. O conteúdo aqui é análise de sequência recursiva, usando monotonia e limitação para concluir convergência, e depois achar o ponto fixo.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente. De fato, para
temos
se, e somente se,
No passo a seguir vamos verificar que sempre vale
, então fica provado que
.
Passo 3
Mostramos por indução que
para todo
.
Base: .
Passo indutivo: se , então
Base:
Passo indutivo: se
Logo, por indução,
para todo
, ou seja, a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 4
Como
é crescente e limitada acima, ela converge. Seja
Tomando limite na relação
, obtemos
Como
para todo
, temos
.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.