Calcule a integral iterada integral0^1 integralx^1 sen(y^2) d y d x. (Sugestão: a integral sen(y^2) d y não é uma integral elementar. Tente mudar os limites de integração de acordo com a região). Resp. 12(1-cos (1)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integralx^1sinl(y^2r),dy,dx
O conteúdo principal aqui é a troca da ordem de integração, porque integralsin(y^2),dy não tem primitiva elementar. Vamos identificar a região de integração e inverter as integrais.

Passo 2

A região no plano (x,y) é dada por
0 <= x <= 1, x <= y <= 1
Desenhando ou observando, vemos que equivale a
0 <= y <= 1, 0 <= x <= y
Logo podemos escrever
integral0^1integralx^1sinl(y^2r),dy,dx = integral0^1integral0^ysinl(y^2r),dx,dy

Passo 3

Na integral interna vemos que sin(y^2) independe de x, então
integral0^ysinl(y^2r),dx =sinl(y^2r),integral0^ydx =sinl(y^2r),y
Isso reduz a integral dupla a
integral0^1y,sinl(y^2r),dy

Passo 4

Para calcular
integral0^1y,sinl(y^2r),dy
fazemos a substituição t = y^2, de modo que dt = 2y,dy ou y,dy = tfrac12,dt. Quando y varia de 0 a 1, t varia de 0 a 1. Assim
integral0^1y,sinl(y^2r),dy =12integral0^1sin(t),dt =12l[-cos(t)r]0^1 =12l(-cos(1)+cos(0)r) =12l(1-cos(1)r)

Resposta

12l(1-cos(1)r)

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