Verifique se sumn=1^infty pi^-3 n. converge ou não

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftypi^-3n.
Este tipo de série é uma série geométrica infinita. Para verificar convergência, vamos usar o teste de séries geométricas, que diz que uma série
sumn=1^inftya,r^,n
converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 2

Observe que
pi^-3n ;=;l(pi^-3r)^n ;=;l(tfrac1pi^3r)^n
Logo a razão da série é
r ;=;1pi^3
Como pi>1, temos lvert rrvert=1/pi^3<1. Portanto a série converge.

Passo 3

Podemos ainda calcular a soma dessa série geométrica. O primeiro termo é
a ;=;pi^-3 = 1pi^3,
e a soma de uma série geométrica convergente é
a1-r =pi^-31-pi^-3 =1pi^3-1

Resposta

A série sumn=1^inftypi^-3n converge (é convergente).
Sua soma vale 1pi^3-1

Exercícios relacionados