Use a integral dupla para determinar a área da região
onde
é a interseção das duas funções e
.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma região D que é a interseção de duas curvas em coordenadas polares:
e
para
. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e a gente precisa usar a fórmula da área em polares, onde o elemento de área é
e, pra regiões limitadas por duas curvas
e
, usamos
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde as duas curvas se cruzam, porque isso dá os limites em
. A interseção acontece quando
ou seja
, o que dá
Passo 3
Agora, em cada intervalo de
, uma curva fica por dentro da outra. Quando
(isto é,
e
), temos
então a menor curva é
. No intervalo onde
(
), a menor curva é
.
Passo 4
Dessa forma, a área total é a soma de duas integrais: uma em
com r até
, e outra em
com r até
. Escrevendo:
Passo 5
Pra resolver essas integrais, usamos a identidade
. A gente faz cada uma e vê que tanto a parte com
quanto a de
dá, em cada pedaço,
. Somando as duas partes iguais (duas vezes
) sai:
Passo 6
Pronto! A gente integrou tudo passo a passo usando polar, definiu quem é menor em cada intervalo, aplicou
e chegou ao resultado.