Use a integral dupla para determinar a área da região D
r=1-cos theta, r=1+cos theta onde D é a interseção das duas funções e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma região D que é a interseção de duas curvas em coordenadas polares: r=1-costheta e r=1+costheta para 0<=theta<=2pi. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e a gente precisa usar a fórmula da área em polares, onde o elemento de área é dA=r,dr,dtheta e, pra regiões limitadas por duas curvas rrm in(theta) e rrm out(theta), usamos
A=12integraltheta1^theta2l(rrm out^2(theta)-rrm in^2(theta)r),dtheta

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde as duas curvas se cruzam, porque isso dá os limites em theta. A interseção acontece quando
1-costheta=1+costheta
ou seja costheta=0, o que dá
theta=pi2outheta=3pi2

Passo 3

Agora, em cada intervalo de theta, uma curva fica por dentro da outra. Quando costheta>0 (isto é, 0<=theta<pi2 e 3pi2<theta<=2pi), temos
1-costheta<1+costheta
então a menor curva é r=1-costheta. No intervalo onde costheta<0 ( pi2<theta<3pi2), a menor curva é r=1+costheta.

Passo 4

Dessa forma, a área total é a soma de duas integrais: uma em [0,tfracpi2]cup[tfrac3pi2,2pi] com r até 1-costheta, e outra em [tfracpi2,tfrac3pi2] com r até 1+costheta. Escrevendo:
A=12gl(integral0^pi2(1-costheta)^2,dtheta+integral3pi2^2pi(1-costheta)^2,dtheta+integralpi2^3pi2(1+costheta)^2,dthetagr)

Passo 5

Pra resolver essas integrais, usamos a identidade cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta). A gente faz cada uma e vê que tanto a parte com (1-costheta)^2 quanto a de (1+costheta)^2 dá, em cada pedaço, tfrac3pi4-2. Somando as duas partes iguais (duas vezes tfrac3pi4-2) sai:
A=2l(3pi4-2r)=3pi2-4

Passo 6

Pronto! A gente integrou tudo passo a passo usando polar, definiu quem é menor em cada intervalo, aplicou cos^2theta e chegou ao resultado.

Resposta

A=3pi2-4

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