Calcule a integral dupla integral duplaR(x-3 y^2) d A, onde R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a integral dupla integral duplaR (x - 3y^2),dA, onde a região R é o retângulo dado por 0 <= x <= 2 e 1 <= y <= 2. Isso é parte de cálculo de integrais duplas e a gente vai usar o Teorema de Fubini para transformar numa integral iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como R é um retângulo, dá pra escrever a integral dupla como uma integral iterada em x e y. Vamos integrar em x primeiro e depois em y:
integral duplaR(x - 3y^2),dA = integraly=1^2integralx=0^2(x - 3y^2),dx,dy

Passo 3

Na hora de integrar em x, tratamos y como constante. A gente usa que integral x,dx = x^2/2 e integral c,dx = c x quando c é constante. Então:
integral0^2(x - 3y^2),dx = integral0^2x,dx - 3y^2integral0^2dx
Calculando separadamente:
integral0^2x,dx = [x^22]0^2 = 2,
integral0^2dx = [x]0^2 = 2,
logo:
integral0^2(x - 3y^2),dx = 2 - 3y^2cdot2 = 2 - 6y^2

Passo 4

Agora a gente integra em y. A integral é linear, então usamos:
integral1^2(2 - 6y^2),dy = integral1^22,dy - 6integral1^2y^2,dy
Calculando cada parte:
integral1^22,dy = 2[y]1^2 = 2(2-1) = 2,
integral1^2y^2,dy = [y^33]1^2 = 83 - 13 = 73,
então:
integral1^2(2 - 6y^2),dy = 2 - 6cdot73 = 2 - 14 = -12

Resposta

-12

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