Exercicio 5 A função
f(x)=x^2-4x-2
está definida para x neq 2.
a) A funçāo pode ser estendida para ser continua em x=2 ?
b) Se sim, defina f(2) de forma que f seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem a função f(x) = x^2 - 4x - 2 , que não está definida em x = 2 . Vamos ver se dá pra estender essa função de modo que ela seja contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = x^2 - 4x - 2 . Olha só que x^2 - 4 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Substituindo na função original, temos:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2
Aqui, o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
f(x) = x + 2 para x neq 2

Passo 4

Agora, para verificar se a função pode ser estendida de forma contínua em x = 2 , vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2:
limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Passo 5

Como o limite existe e é igual a 4, podemos definir f(2) = 4 para tornar a função contínua em x = 2 . Isso porque, ao definir f(2) como esse valor, conseguimos eliminar a descontinuidade.

Resposta

a) Sim, a função pode ser estendida para ser contínua em x = 2 .
b) Definindo f(2) = 4 , a função f se torna contínua em x = 2 .

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