Exercicio 5 A função
está definida para
.
a) A funçāo pode ser estendida para ser continua em
?
b) Se sim, defina
de forma que
seja contínua.
a) A funçāo pode ser estendida para ser continua em
b) Se sim, defina
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem a função
, que não está definida em
. Vamos ver se dá pra estender essa função de modo que ela seja contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Olha só que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 3
Substituindo na função original, temos:
Aqui, o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, para verificar se a função pode ser estendida de forma contínua em
, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Passo 5
Como o limite existe e é igual a 4, podemos definir
para tornar a função contínua em
. Isso porque, ao definir
como esse valor, conseguimos eliminar a descontinuidade.
Resposta
a) Sim, a função pode ser estendida para ser contínua em
.
b) Definindo
, a função
se torna contínua em
.