Calcule a integral dupla integral duplaD(2 x-y) d A, onde D é a região no plano xy limitada pela curva x=y^2 e x=y^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(2x - y),dA
onde D é a região limitada pelas curvas x = y^2 e x = y^3.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas cartesianas via Teorema de Fubini, determinando primeiro os limites de y pelas interseções e depois os limites de x.

Passo 2

Para achar os limites de y, igualamos as curvas:
y^2 = y^3 Longrightarrow y^2(y-1)=0 Longrightarrow y=0 ou y=1
Então y varia de 0 a 1. Para cada y fixo em [0,1], x vai de x=y^3 (menor) até x=y^2 (maior). Assim a integral fica
integral duplaD(2x - y),dA = integraly=0^1!integralx=y^3^y^2(2x - y),dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integralx=y^3^y^2(2x - y),dx = [,x^2 - y,x]x=y^3^x=y^2 = l((y^2)^2 - y,y^2r) - l((y^3)^2 - y,y^3r)
Simplificando:
(y^4 - y^3) - (y^6 - y^4) = 2y^4 - y^3 - y^6

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1l(2y^4 - y^3 - y^6r),dy = [2y^55 - y^44 - y^77]0^1 = 25 - 14 - 17
Colocando sobre denominador comum 140:
25 = 56140, 14 = 35140, 17 = 20140,
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56 - 35 - 20140 = 1140

Resposta

integral duplaD(2x - y),dA = 1140

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