Calcule a integral dupla
integral duplaR 2 y d A
onde R é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo (x-1)^2+y^2=1 e abaixo da reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR 2y,dA
onde R é a região no primeiro quadrante definida por
(x-1)^2+y^2<=1
e y<= x. Vamos precisar encontrar os limites de integração em x e y, determinando onde o arco de círculo e a reta y=x se intersectam, e depois montar a integral dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Encontramos a interseção entre o círculo e a reta resolvendo
(x-1)^2+x^2=1
Isso dá
2x^2-2x=0 Longrightarrow x(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
Em x=0 obtemos y=0 e em x=1 obtemos y=1.

Passo 3

Para decidir qual é o valor máximo de y em cada intervalo de x, comparamos
yrm reta = x e
yrm circ = raiz1-(x-1)^2 = raizx(2-x).
Em 0 <= x <= 1 verifica-se que
raizx(2-x) > x,
logo o teto da região é y = x.
Em 1 <= x <= 2 ocorre
raizx(2-x) <= x,
então o teto é y = raizx(2-x).

Passo 4

Assim R em projeção no eixo x vai de x=0 até x=2, e dividimos em dois pedaços:
integral duplaR2y,dA =integralx=0^1!!integraly=0^x2y,dy,dx +integralx=1^2!!integraly=0^raizx(2-x)2y,dy,dx

Passo 5

Calculamos as integrais internas em y:
integral0^x2y,dy =l[y^2r]0^x = x^2,
integral0^raizx(2-x)2y,dy =l[y^2r]0^raizx(2-x) = x(2-x)
Logo a integral dupla vira
integral0^1x^2,dx ;+; integral1^2l(2x-x^2r),dx

Passo 6

Avaliamo em x:
integral0^1x^2,dx =x^33|0^1 =13,
integral1^2(2x-x^2),dx =l[x^2-x^33r]1^2 =l(4-tfrac83r)-l(1-tfrac13r) =23
Somando os dois resultados obtém-se
tfrac13+tfrac23=1.

Resposta

integral duplaR2y,dA = 1

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