Utilize uma mudança de variável que torne os limites de integração constantes para calcular a integral
onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde está no primeiro quadrante limitada por , , e . Vamos usar uma mudança de variável que transforme estes contornos em limites constantes.
Passo 2
A escolha clássica é definir as variáveis
Nessas variáveis os contornos ficam:
- dá ,
- dá ,
- dá ,
- dá .
Logo o novo domínio em é o retângulo .
Passo 3
Precisamos inverter a mudança para expressar e em função de . De e vem:
Passo 4
Agora calculamos o Jacobiano
e, em valor absoluto,
Isso nos dá dA=12u ,du,dv.
Passo 5
Precisamos também reescrever o integrando:
x,y^3=(raiztfracvu),(raizu v)^3 =u,v^2
Assim
x y^3,dA = u v^2cdot12u ,du,dv = v^22,du,dv
Passo 6
Por fim fazemos a integração iterada sobre o retângulo: