Utilize uma mudança de variável que torne os limites de integração constantes para calcular a integral
I=integral duplaR x y^3 d A
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x, y=3 x, y=1x e x y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla I=integral duplaR x y^3 ,dA, onde R está no primeiro quadrante limitada por y=x, y=3x, y=1/x e xy=4. Vamos usar uma mudança de variável que transforme estes contornos em limites constantes.

Passo 2

A escolha clássica é definir as variáveis
u=yx, v=xy
Nessas variáveis os contornos ficam:
- y=x u=1,
- y=3x u=3,
- y=1/x v=1,
- xy=4 v=4.
Logo o novo domínio em (u,v) é o retângulo 1<= u<=3,;1<= v<=4.

Passo 3

Precisamos inverter a mudança para expressar x e y em função de u,v. De v=xy e u=y/x vem:
x=raizvu, y=raizu,v

Passo 4

Agora calculamos o Jacobiano
J=det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v =-12u
e, em valor absoluto,
l|Jr|=12u
Isso nos dá dA=12u ,du,dv.

Passo 5

Precisamos também reescrever o integrando:
x,y^3=(raiztfracvu),(raizu v)^3 =u,v^2
Assim
x y^3,dA = u v^2cdot12u ,du,dv = v^22,du,dv

Passo 6

Por fim fazemos a integração iterada sobre o retângulo:
I=integralu=1^3integralv=1^4 v^22 ,dv,du
Primeiro em v:
integral1^4 v^22 ,dv = v^36|1^4 = 64-16 = 212
Depois em u:
I=212,(3-1)=21

Resposta

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