Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos
, e
. A integral deve ser feita na ordem
(outra ordem não será aceita).
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido limitado por
- a superfície
, - os planos
, e ,
usando uma integral tripla na ordem.
Para calcular o volume, vamos usar a definição
e escolher os limites de integração compatíveis com essa ordem.
Passo 2
Primeiro, projetamos o sólido no plano
. Como
varia entre
e a face
, ao anular
obtemos
. Além disso, a superfície de baixo é
e a de cima é
. Logo, os limites em
vão de
a
e, para cada
,
vai de
a
.
Passo 3
Para cada par
fixos,
varia de
até a reta
. Assim a integral tripla fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Substituindo na integral, resta
Passo 5
Agora integramos em
:
Então
Passo 6
Escrevemos o integrando como soma de potências:
e calculamos
Resposta
O volume do sólido é
.