Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície z=raizy e os planos x+y=1, x=0, e z=0. A integral deve ser feita na ordem d x d z d y (outra ordem não será aceita).

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido limitado por
  • a superfície z = raizy,
  • os planos x+y=1, x=0 e z=0,
    usando uma integral tripla na ordem dx,dz,dy.
    Para calcular o volume, vamos usar a definição
V = integral triplaD dV
e escolher os limites de integração compatíveis com essa ordem.

Passo 2

Primeiro, projetamos o sólido no plano yz. Como x varia entre 0 e a face x+y=1, ao anular x obtemos y=1. Além disso, a superfície de baixo é z=0 e a de cima é z=raizy. Logo, os limites em y vão de 0 a 1 e, para cada y, z vai de 0 a raizy.

Passo 3

Para cada par (y,z) fixos, x varia de 0 até a reta x=1-y. Assim a integral tripla fica
V = integraly=0^1 integralz=0^raizy integralx=0^1-y dx,dz,dy

Passo 4

Integramos primeiro em x:
integral0^1-y dx = 1 - y
Substituindo na integral, resta
V = integral0^1 integral0^raizy (1 - y),dz,dy

Passo 5

Agora integramos em z:
integral0^raizy (1 - y),dz = (1 - y),raizy
Então
V = integral0^1 (1 - y),raizy;dy

Passo 6

Escrevemos o integrando como soma de potências:
(1 - y),raizy = y^1/2 - y^3/2,
e calculamos
integral0^1 l(y^1/2 - y^3/2r) dy = l[tfrac23y^3/2 - tfrac25y^5/2r]0^1 = tfrac23 - tfrac25 = tfrac10-615 = tfrac415

Resposta

O volume do sólido é 415.

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