(2 pontos) Utilize a Regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais
,
quando
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. Isso envolve funções compostas, então precisamos entender como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Vamos precisar usar as fórmulas de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para combinar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Para uma função composta
, onde
e
dependem de
,
e
:
E de forma similar para
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos mostram como
muda quando
ou
mudam.
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
,
e
:
Para
:
Para
:
Essas derivadas nos mostram como
e
mudam com cada variável.
Passo 6
Vamos agora montar as expressões para
,
e
usando a Regra da Cadeia:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas equações de
e
para encontrar seus valores nesse ponto:
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituindo
,
,
,
e
nas expressões das derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são: