(2 pontos) Utilize a Regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partial zpartial u, partial zpartial v, e partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0, sabendo que z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de z em relação a u , v e w usando a Regra da Cadeia. Isso envolve funções compostas, então precisamos entender como z depende de x e y , que por sua vez dependem de u , v e w . Vamos precisar usar as fórmulas de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para combinar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
z = x^2 + x y^3
x = u v^2 + w^3
y = u + v e^w
Precisamos calcular partial zpartial u , partial zpartial v e partial zpartial w .

Passo 3

Vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Para uma função composta z(x,y) , onde x e y dependem de u , v e w :
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
E de forma similar para v e w .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 2x + y^3
partial zpartial y = 3x y^2
Essas derivadas nos mostram como z muda quando x ou y mudam.

Passo 5

Agora, vamos derivar x e y em relação a u , v e w :
Para x :
partial xpartial u = v^2, partial xpartial v = 2u v, partial xpartial w = 3w^2
Para y :
partial ypartial u = 1, partial ypartial v = e^w, partial ypartial w = v e^w
Essas derivadas nos mostram como x e y mudam com cada variável.

Passo 6

Vamos agora montar as expressões para partial zpartial u , partial zpartial v e partial zpartial w usando a Regra da Cadeia:
Para u :
partial zpartial u = (2x + y^3) cdot v^2 + (3x y^2) cdot 1
Para v :
partial zpartial v = (2x + y^3) cdot 2u v + (3x y^2) cdot e^w
Para w :
partial zpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2 + (3x y^2) cdot v e^w

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores u = 2 , v = 1 e w = 0 nas equações de x e y para encontrar seus valores nesse ponto:
Para x :
x = (2)(1)^2 + (0)^3 = 2 + 0 = 2
Para y :
y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 cdot 1 = 3

Passo 8

Substituindo x = 2 , y = 3 , u = 2 , v = 1 e w = 0 nas expressões das derivadas:
Para partial zpartial u :
partial zpartial u = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 1^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 = (4 + 27) cdot 1 + (3 cdot 2 cdot 9) = 31 + 54 = 85
Para partial zpartial v :
partial zpartial v = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot e^0 = 31 cdot 4 + 54 cdot 1 = 124 + 54 = 178
Para partial zpartial w :
partial zpartial w = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 3 cdot 0^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 cdot e^0 = 31 cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 85, partial zpartial v = 178, partial zpartial w = 54

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