Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície y=x^2 e os planos y+z=4 e z=0. A integral deve ser feita na ordem d x d z d y (não será aceita outra ordem).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela parábola cilíndrica y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=4. Vamos usar integral tripla com ordem de integração
dx;dz;dy
Para isso precisamos:
  • Determinar os limites de y;
  • Para cada y, achar os limites de z;
  • Para cada y, achar os limites de x.

Passo 2

Identificamos os valores extremos de y. Como y=x^2>=0 e a face superior vem de y+z=4 com z>=0, temos
0<= y<=4

Passo 3

Para um y fixo em [0,4]:
  • A seção em z fica entre o plano inferior z=0 e o plano superior z=4-y, ou seja 0<= z<=4-y
  • A projeção no eixo x vem de y=x^2, ou seja x^2<= y, logo -raizy;<= x;<=raizy

Passo 4

Assim o volume é
V =integraly=0^4integralz=0^4-yintegralx=-raizy^raizy1;dx;dz;dy

Passo 5

Primeiro integramos em x:
integralx=-raizy^raizy1;dx =2raizy
Logo
V =integral0^4integral0^4-y2raizy;dz;dy

Passo 6

Agora integramos em z:
integralz=0^4-y2raizy;dz =2raizy,(4-y)
Então
V =integral0^42raizy,(4-y);dy =integral0^4l(8y^1/2-2y^3/2r);dy

Passo 7

Por fim, integramos em y:
integral0^48y^1/2;dy =8cdot23y^3/2|0^4 =163,4^3/2 =163cdot8 =1283,
integral0^42y^3/2;dy =2cdot25y^5/2|0^4 =45,4^5/2 =45cdot32 =1285
Logo
V =1283-1285 =128,(5-3)15 =25615

Resposta

O volume do sólido é 25615.

Exercícios relacionados