Calcule a integral dupla.
;
é a região triangular limitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
. O que isso significa? Basicamente, queremos somar os valores da função
em toda a área da região
. Essa região
é um triângulo delimitado pelas retas
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas, como definir os limites de integração para uma região triangular e como integrar funções que envolvem mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As retas que a delimitam são:
-
: uma linha diagonal que sobe de 0 a . -
: o eixo , que está na base. -
: uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
Juntas, essas retas formam um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e
,
varia de 0 até
.
Então, nossos limites de integração serão:
-
vai de 0 a . - Para cada
, vai de 0 a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte maneira:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Aqui,
é considerado uma constante em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Então, a integral dupla simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é
.
Resposta
O valor da integral dupla é
.