Calcule a integral dupla.
integral duplaR x cos y d A; R é a região triangular limitada pelas retas y=x, y=0 e x=pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR x cos y , dA. O que isso significa? Basicamente, queremos somar os valores da função x cos y em toda a área da região R. Essa região R é um triângulo delimitado pelas retas y = x, y = 0 e x = pi.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas, como definir os limites de integração para uma região triangular e como integrar funções que envolvem mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. As retas que a delimitam são:
  1. y = x: uma linha diagonal que sobe de 0 a pi.
  2. y = 0: o eixo x, que está na base.
  3. x = pi: uma linha vertical que corta o eixo x no ponto pi.
Juntas, essas retas formam um triângulo com vértices em (0,0), (pi, 0) e (pi, pi).

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Isso significa que, para cada valor de x entre 0 e pi, y varia de 0 até x.
Então, nossos limites de integração serão:
  • x vai de 0 a pi.
  • Para cada x, y vai de 0 a x.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte maneira:
integralx=0^pi integraly=0^x x cos y , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integraly=0^x x cos y , dy
Aqui, x é considerado uma constante em relação a y.

Passo 5

Integrando x cos y em relação a y:
x integral0^x cos y , dy = x [ sin y ]0^x = x (sin x - sin 0) = x sin x
Então, a integral dupla simplifica para:
integral0^pi x sin x , dx

Passo 6

Agora, precisamos integrar x sin x em relação a x. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a pi:
[ -x cos x + sin x ]0^pi

Passo 8

Calculando nos limites:
Para x = pi:
- pi cos pi + sin pi = -pi (-1) + 0 = pi
Para x = 0:
-0 cos 0 + sin 0 = 0 + 0 = 0
Então, a diferença é pi - 0 = pi.

Resposta

O valor da integral dupla é pi.

Exercícios relacionados