Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido compreendido por y^2=x, z=0 e x+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela “parabólica” y^2=x, pelo plano inferior z=0 e pelo plano inclinado x+z=1. O método é usar integração tripla em coordenadas cartesianas, reduzindo-a a uma dupla sobre a projeção no plano xy. Em teoria, vale
V=integral triplaD dV
e, projetando em xy,
V=integral duplaRl[ztop(x,y)-zbot(x,y)r],dA

Passo 2

Encontramos a projeção R no plano xy resolvendo as curvas de contorno:
— A “parabólica” dá x=y^2, e a face lateral termina em x+z=1 com z>=0, logo x<=1.
— Logo R=(x,y)mid 0<= x<=1,;-,raizx<= y<=raizx.

Passo 3

Na região R, o teto do sólido é dado por ztop=1-x (da equação x+z=1) e o piso por zbot=0. Assim montamos
V=integralx=0^1integraly=-raizx^raizxintegralz=0^1-xdz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^1-xdz=1-x
Então
V=integral0^1integral-raizx^raizx(1-x),dy,dx =integral0^1(1-x)l[;yr]y=-raizx^raizxdx =integral0^1(1-x),2raizx,dx

Passo 5

Agora calculamos
V=2integral0^1l(x^1/2-x^3/2r),dx =2l[tfrac23x^3/2-tfrac25x^5/2r]0^1 =2l(tfrac23-tfrac25r) =2cdottfrac415 =tfrac815

Resposta

O volume do sólido é tfrac815.

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