Devido à má administração, o patrimônio de uma empresa decresce continuamente à uma taxa de
ao mês e seu lucro mensal equivale à quinta parte de seu patrimônio. O estatuto financeiro da empresa obriga os diretores a decretarem falência quando a soma entre patrimônio e lucro mensal for inferior à
do patrimônio inicial. Qual é o prazo máximo para que os diretores da empresa decretem falência?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa cujo patrimônio está diminuindo continuamente a uma taxa de 1% ao mês. Além disso, o lucro mensal dessa empresa é igual a um quinto do seu patrimônio atual. O estatuto financeiro diz que os diretores precisam declarar falência quando a soma do patrimônio e do lucro mensal for menor que 60% do patrimônio inicial da empresa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, no máximo, os diretores têm antes de precisarem tomar essa decisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender de funções exponenciais que lidam com decaimento contínuo e aplicar um pouco de algebra para encontrar o tempo que atende à condição estabelecida.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é o patrimônio inicial da empresa. Vamos chamar esse valor de
.
Sabemos que o patrimônio está diminuindo a uma taxa de 1% por mês de forma contínua. Isso significa que, a cada mês, o patrimônio é 99% do que era no mês anterior.
A fórmula para o patrimônio após
meses é:
Aqui,
representa o patrimônio após
meses.
Passo 3
Agora, vamos considerar o lucro mensal. O lucro é igual a um quinto do patrimônio atual. Então, o lucro no mês
é:
Passo 4
O estatuto financeiro diz que a falência deve ser declarada quando a soma do patrimônio e do lucro for menor que 60% do patrimônio inicial (
).
Então, temos a condição:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a inequação. Primeiro, fatoramos
:
Isso dá:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que é positivo e não altera a inequação):
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Passo 7
Para resolver a inequação
, vamos usar logaritmos. Tirando o log de ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos (
):
Agora, isolamos
:
Note que a desigualdade inverteu porque
é negativo.
Passo 8
Calculando os valores:
Então:
Passo 9
Como o tempo não pode ser fracionado em meses completos, arredondamos para o próximo mês inteiro.
Resposta
O prazo máximo para que os diretores da empresa decretem falência é de 69 meses.