Devido à má administração, o patrimônio de uma empresa decresce continuamente à uma taxa de 1 % ao mês e seu lucro mensal equivale à quinta parte de seu patrimônio. O estatuto financeiro da empresa obriga os diretores a decretarem falência quando a soma entre patrimônio e lucro mensal for inferior à 60 % do patrimônio inicial. Qual é o prazo máximo para que os diretores da empresa decretem falência?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa cujo patrimônio está diminuindo continuamente a uma taxa de 1% ao mês. Além disso, o lucro mensal dessa empresa é igual a um quinto do seu patrimônio atual. O estatuto financeiro diz que os diretores precisam declarar falência quando a soma do patrimônio e do lucro mensal for menor que 60% do patrimônio inicial da empresa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, no máximo, os diretores têm antes de precisarem tomar essa decisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender de funções exponenciais que lidam com decaimento contínuo e aplicar um pouco de algebra para encontrar o tempo que atende à condição estabelecida.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é o patrimônio inicial da empresa. Vamos chamar esse valor de P0 .
Sabemos que o patrimônio está diminuindo a uma taxa de 1% por mês de forma contínua. Isso significa que, a cada mês, o patrimônio é 99% do que era no mês anterior.
A fórmula para o patrimônio após t meses é:
P(t) = P0 times (1 - 0,01)^t = P0 times 0,99^t
Aqui, P(t) representa o patrimônio após t meses.

Passo 3

Agora, vamos considerar o lucro mensal. O lucro é igual a um quinto do patrimônio atual. Então, o lucro no mês t é:
L(t) = 15 times P(t) = 15 times P0 times 0,99^t

Passo 4

O estatuto financeiro diz que a falência deve ser declarada quando a soma do patrimônio e do lucro for menor que 60% do patrimônio inicial ( 0,6 times P0 ).
Então, temos a condição:
P(t) + L(t) < 0,6 times P0
Substituindo P(t) e L(t) :
P0 times 0,99^t + 15 times P0 times 0,99^t < 0,6 times P0

Passo 5

Vamos simplificar a inequação. Primeiro, fatoramos P0 times 0,99^t :
P0 times 0,99^t (1 + 15) < 0,6 times P0
Isso dá:
P0 times 0,99^t times 65 < 0,6 times P0
Podemos dividir ambos os lados por P0 (já que é positivo e não altera a inequação):
0,99^t times 65 < 0,6

Passo 6

Agora, vamos isolar 0,99^t :
0,99^t < 0,6 times 56
0,99^t < 0,5

Passo 7

Para resolver a inequação 0,99^t < 0,5 , vamos usar logaritmos. Tirando o log de ambos os lados:
ln(0,99^t) < ln(0,5)
Usando a propriedade dos logaritmos ( ln(a^b) = b ln(a) ):
t times ln(0,99) < ln(0,5)
Agora, isolamos t :
t > ln(0,5)ln(0,99)
Note que a desigualdade inverteu porque ln(0,99) é negativo.

Passo 8

Calculando os valores:
ln(0,5) approx -0,6931
ln(0,99) approx -0,01005
Então:
t > -0,6931-0,01005 approx 68,9

Passo 9

Como o tempo não pode ser fracionado em meses completos, arredondamos para o próximo mês inteiro.

Resposta

O prazo máximo para que os diretores da empresa decretem falência é de 69 meses.

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