Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido comum aos cilindros
e
.
O sólido comum aos cilindros
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido comum aos cilindros
e
Isso é um caso clássico de Steinmetz, que podemos resolver por fatias usando integração dupla (na verdade uma integral simples numa variável após calcular a área da seção transversal).
Passo 2
Para cada valor fixo de
, a interseção com o primeiro cilindro dá
e com o segundo cilindro dá
Logo, para cada
em
a seção transversal é um retângulo de lados
em
e
em
.
Passo 3
O volume total é a integral, de
a
, da área dessa seção:
onde
Passo 4
Substituindo em
:
Como o integrando é função par,
Passo 5
Portanto