Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido comum aos cilindros x^2+y^2=25 e x^2+z^2=25.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido comum aos cilindros
x^2+y^2=25
e
x^2+z^2=25
Isso é um caso clássico de Steinmetz, que podemos resolver por fatias usando integração dupla (na verdade uma integral simples numa variável após calcular a área da seção transversal).

Passo 2

Para cada valor fixo de x, a interseção com o primeiro cilindro dá
y^2<=25 - x^2Longrightarrow -raiz25 - x^2<= y<= raiz25 - x^2,
e com o segundo cilindro dá
z^2<=25 - x^2Longrightarrow -raiz25 - x^2<= z<= raiz25 - x^2
Logo, para cada x em [-5,5] a seção transversal é um retângulo de lados
2raiz25 - x^2 em y e 2raiz25 - x^2 em z.

Passo 3

O volume total é a integral, de x=-5 a x=5, da área dessa seção:
V=integralx=-5^5A(x),dx,
onde
A(x)=l(2raiz25 - x^2r)timesl(2raiz25 - x^2r) =4,(25 - x^2)

Passo 4

Substituindo em V:
V=4integral-5^5(25 - x^2),dx
Como o integrando é função par,
integral-5^5(25 - x^2),dx =2integral0^5(25 - x^2),dx =2l[25x - x^33r]0^5 =2l(125 - 1253r) =2cdot2503 =5003

Passo 5

Portanto
V=4cdot5003=20003

Resposta

20003

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