Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:
(x, y, z) in R^2 / y=x e z=3 x

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid y=x,;z=3x
e verificar se S é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em S. Tomando x=0, temos
(y,z)=(0,3cdot0)=(0,0),
logo (0,0,0)in S. Assim, S não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob soma. Vetores genéricos em S são
v=(x,x,3x), w=(u,u,3u)
Então
v+w = (x+u,;x+u,;3x+3u) = (x+u,;x+u,;3(x+u)),
que está em S com parâmetro x+u.

Passo 4

Mostramos que S é fechado sob multiplicação por escalar. Para v=(x,x,3x)in S e alphainR temos
alpha v = (alpha x,;alpha x,;3alpha x) = (alpha x,;alpha x,;3(alpha x)),
que é um vetor de S com parâmetro alpha x.

Resposta

O conjunto S é um subespaço vetorial de R^3.

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