Calcule a integral dupla sobre a região
dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região
onde
e
da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre retângulos. Precisaremos entender como integrar uma função de duas variáveis dentro de limites específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é um retângulo no plano
com
variando de 0 a 4 e
de 1 a 2. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
de 0 a 4 e depois em relação a
de 1 a 2, ou vice-versa. A ordem de integração pode variar, mas para simplificar, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 3
Agora, escrevemos a integral dupla como um produto de duas integrais simples. Assim:
Aqui,
é o elemento de área que, no caso de integrais duplas retangulares, se transforma em
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Sabemos que
, e a integral de
é
. Então:
Passo 5
Calculando os limites:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
A integral de
é
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.