Calcule a integral dupla sobre a região R dada:
integral duplaR(raizxy^2) d A, R: 0 <= x <= 4, 1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região R onde 0 <= x <= 4 e 1 <= y <= 2 da função raizxy^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre retângulos. Precisaremos entender como integrar uma função de duas variáveis dentro de limites específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R . Ela é um retângulo no plano xy com x variando de 0 a 4 e y de 1 a 2. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x de 0 a 4 e depois em relação a y de 1 a 2, ou vice-versa. A ordem de integração pode variar, mas para simplificar, vamos integrar primeiro em x e depois em y .

Passo 3

Agora, escrevemos a integral dupla como um produto de duas integrais simples. Assim:
integral duplaR raizxy^2 , dA = integraly=1^2 ( integralx=0^4 raizxy^2 , dx ) dy
Aqui, dA é o elemento de área que, no caso de integrais duplas retangulares, se transforma em dx , dy .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x :
integral0^4 raizxy^2 , dx
Como 1y^2 é constante em relação a x , podemos tirá-la da integral:
1y^2 integral0^4 raizx , dx
Sabemos que raizx = x^1/2 , e a integral de x^n é x^n+1n+1 . Então:
1y^2 [ x^3/23/2 ]0^4 = 1y^2 [ 23 x^3/2 ]0^4

Passo 5

Calculando os limites:
23 y^2 ( 4^3/2 - 0^3/2 ) = 23 y^2 ( 8 - 0 ) = 163 y^2
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral1^2 163 y^2 , dy = 163 integral1^2 y^-2 , dy
A integral de y^-2 é -y^-1 , então:
163 [ -1y ]1^2 = 163 ( -12 + 1 ) = 163 ( 12 ) = 83

Resposta

O valor da integral dupla é 83 .

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