Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
2 x^2+2 y^2+2 z^2=8 x-24 z+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2x^2+2y^2+2z^2=8x-24z+1
e pede para mostrar que ela representa uma esfera, determinando seu centro e raio. Para isso vamos usar o método de completar o quadrado, de modo a trazer a equação para a forma padrão
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

Passo 2

Primeiro, divido tudo por 2 para simplificar os coeficientes dos termos quadráticos:
x^2+y^2+z^2=4x -12z +tfrac12

Passo 3

Reúno todos os termos quadráticos e lineares no lado esquerdo, deixando a constante no direito:
x^2-4x ;+;y^2;+;z^2+12z ;=;tfrac12

Passo 4

Agora completo o quadrado em cada variável:
  • Para x:
x^2-4x = (x-2)^2-4
  • Para y:
y^2 = (y-0)^2
  • Para z:
z^2+12z = (z+6)^2-36
Substituindo na equação:
l[(x-2)^2-4r]+,(y-0)^2+l[(z+6)^2-36r] =tfrac12

Passo 5

Agrupando os quadrados perfeitos e passando as constantes para o lado direito, obtemos
(x-2)^2+(y-0)^2+(z+6)^2 = tfrac12 +4 +36 = tfrac1 +8 +722 = tfrac812
Logo a equação está na forma padrão de uma esfera com centro
(a,b,c) = (2,,0,,-6)
e raio
R = raiztfrac812 = 9raiz22

Resposta

A equação representa uma esfera de centro (2,0,-6) e raio tfrac9raiz22.

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