Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para mostrar que ela representa uma esfera, determinando seu centro e raio. Para isso vamos usar o método de completar o quadrado, de modo a trazer a equação para a forma padrão
Passo 2
Primeiro, divido tudo por
para simplificar os coeficientes dos termos quadráticos:
Passo 3
Reúno todos os termos quadráticos e lineares no lado esquerdo, deixando a constante no direito:
Passo 4
Agora completo o quadrado em cada variável:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agrupando os quadrados perfeitos e passando as constantes para o lado direito, obtemos
Logo a equação está na forma padrão de uma esfera com centro
e raio
Resposta
A equação representa uma esfera de centro
e raio
.