Encontre os máximos e mínimos da função f(x, y)=x+y na circuferência x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y)=x+y
sujeita à restrição da circunferência
x^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+y-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr).
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=1-2\lambda y=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-1)=0.

Passo 3

Das duas primeiras equações vem
1-2\lambda x=0\implies \lambda=\frac{1}{2x},
1-2\lambda y=0\implies \lambda=\frac{1}{2y},
logo \frac{1}{2x}=\frac{1}{2y}\implies x=y.
Substituindo na restrição x^{2}+y^{2}=1
2x^{2}=1\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=x.
Os pontos críticos são
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 4

Calculamos f nesses pontos:
f\!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\tfrac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{1}{\sqrt{2}} =\sqrt{2},
f\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =-\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}} =-\sqrt{2}.
Portanto \sqrt{2} é o valor máximo e -\sqrt{2} é o valor mínimo.

Resposta

O máximo de f na circunferência ocorre em
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) e vale \sqrt{2}.
O mínimo ocorre em
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) e vale -\sqrt{2}.

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