Encontre os máximos e mínimos da função
na circuferência
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
sujeita à restrição da circunferência
sujeita à restrição da circunferência
O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Das duas primeiras equações vem
logo
.
Substituindo na restrição dá
Substituindo na restrição
Os pontos críticos são
Passo 4
Calculamos
nesses pontos:
Portanto
é o valor máximo e
é o valor mínimo.
Resposta
O máximo de
na circunferência ocorre em
e vale
.
O mínimo ocorre em
e vale
.
O mínimo ocorre em