Seja f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-6 y+14. Mostre que f possui somente um ponto crítico, e que depois explique o porquê de esse ponto crítico ser um ponto de mínimo global.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-6y+14
e pede para mostrar que existe um único ponto crítico e que ele é um mínimo global. Para isso, vamos (1) usar o gradiente para achar o ponto crítico e (2) caracterizar esse ponto como mínimo global por meio do Hessiano ou completando o quadrado.
Como ambos os autovalores são positivos (2>0), o Hessiano é definido positivo e f é estritamente convexa. Portanto, o único ponto crítico é um mínimo global.]
Passo 4
Alternativamente, completamos o quadrado para ver diretamente o valor mínimo. Reescrevendo f:
Como (x-1)^{2}\ge0 e (y-3)^{2}\ge0, temos f(x,y)\ge4 para todo (x,y), com igualdade exatamente em (1,3). Isso mostra que (1,3) é mínimo global e f(1,3)=4.
Resposta
O único ponto crítico é (1,3) e ele é um mínimo global de f.