Seja f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-6 y+14. Mostre que f possui somente um ponto crítico, e que depois explique o porquê de esse ponto crítico ser um ponto de mínimo global.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-6y+14
e pede para mostrar que existe um único ponto crítico e que ele é um mínimo global. Para isso, vamos (1) usar o gradiente para achar o ponto crítico e (2) caracterizar esse ponto como mínimo global por meio do Hessiano ou completando o quadrado.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-6.
Para um ponto crítico, igualamos ambas a zero:
2x-2=0\implies x=1, \qquad 2y-6=0\implies y=3.
Logo, há exatamente um ponto crítico (1,3).

Passo 3

Para verificar que (1,3) é um mínimo, examinamos o Hessiano de f:
H(f)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Como ambos os autovalores são positivos ( 2>0), o Hessiano é definido positivo e f é estritamente convexa. Portanto, o único ponto crítico é um mínimo global.]

Passo 4

Alternativamente, completamos o quadrado para ver diretamente o valor mínimo. Reescrevendo f:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, \quad y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9,
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f(x,y)=(x-1)^{2}-1\;+\;(y-3)^{2}-9\;+\;14 =(x-1)^{2}+(y-3)^{2}+4.
Como (x-1)^{2}\ge0 e (y-3)^{2}\ge0, temos f(x,y)\ge4 para todo (x,y), com igualdade exatamente em (1,3). Isso mostra que (1,3) é mínimo global e f(1,3)=4.

Resposta

O único ponto crítico é (1,3) e ele é um mínimo global de f.

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