Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso.
\left(1+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}+e^{x} y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\bigl(1+e^{x}\bigr)\,\frac{dy}{dx}+e^{x}\,y=0
usando fator integrante. O conteúdo aqui é a técnica de fator integrante para equações da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por 1+e^{x}, que é sempre não nulo:
\frac{dy}{dx} + \underbrace{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}_{P(x)}\,y = 0.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\!\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\!\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+e^{x}, vem du=e^{x}dx, logo
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl(1+e^{x}\bigr)
e portanto
\mu(x)=\exp\bigl(\ln(1+e^{x})\bigr)=1+e^{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x) temos
(1+e^{x})\frac{dy}{dx} + e^{x}\,y = \frac{d}{dx}\bigl[y\,(1+e^{x})\bigr] = 0.
Integrando ambos os lados em x
y\,(1+e^{x}) = C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = \frac{C}{1+e^{x}}.
Como 1+e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a solução geral está definida em todo o domínio real.

Resposta

y(x) = \frac{C}{1+e^{x}},\quad x\in\mathbb{R}.

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