Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 8 y x^{3} d A \operatorname{com} D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leqslant y \leqslant 2,-1 \leqslant x \leqslant 1+y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} 8\,y\,x^{3}\,dA
em que
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1\le y\le 2,\,-1\le x\le 1+y^{2}\}.
O conteúdo envolvido é integral dupla sobre uma região de tipo I (primero y varia, depois x varia), e vamos usar a regra de Fubini para transformar em integral iterada, depois integrar em x e por fim em y.

Passo 2

Escrevendo como integral iterada segundo Fubini, temos
\iint_{D} 8\,y\,x^{3}\,dA =\int_{y=-1}^{2}\Bigl(\int_{x=-1}^{\,1+y^{2}}8\,y\,x^{3}\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x. Como y é tratado como constante:
\int_{x=-1}^{\,1+y^{2}}8\,y\,x^{3}\,dx =8\,y\int_{-1}^{\,1+y^{2}}x^{3}\,dx =8\,y\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{x=-1}^{x=1+y^{2}} =2\,y\Bigl[(1+y^{2})^{4}-(-1)^{4}\Bigr].
Como (-1)^{4}=1, isso fica
2\,y\bigl[(1+y^{2})^{4}-1\bigr].

Passo 4

Logo a integral completa é
\int_{y=-1}^{2}2\,y\bigl[(1+y^{2})^{4}-1\bigr]\,dy =2\int_{-1}^{2}y\,(1+y^{2})^{4}\,dy \;-\;2\int_{-1}^{2}y\,dy.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{-1}^{2}y\,(1+y^{2})^{4}dy, use u=1+y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=\tfrac12du. Quando y=-1, u=2; quando y=2, u=5. Assim
\int_{-1}^{2}y\,(1+y^{2})^{4}dy =\frac12\int_{u=2}^{5}u^{4}du =\frac12\Bigl[\frac{u^{5}}{5}\Bigr]_{2}^{5} =\frac{1}{10}\bigl(5^{5}-2^{5}\bigr) =\frac{3093}{10}.

Passo 6

E
\int_{-1}^{2}y\,dy =\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{4}{2}-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 7

Substituindo em
2\int_{-1}^{2}y\,(1+y^{2})^{4}\,dy -2\int_{-1}^{2}y\,dy =2\Bigl(\frac{3093}{10}\Bigr)-2\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr) =\frac{6186}{10}-\frac{3}{1} =\frac{6186-30}{10} =\frac{6156}{10} =\frac{3078}{5}.

Resposta

\frac{3078}{5}.

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